张量先从二阶开始：它可以把输入矢量变成输出矢量。例如各向异性介质 Dᵢ=εᵢⱼEⱼ，j 重复就对 1、2、3 求和；i 是自由指标，代表三个方程。单位张量 δᵢⱼ在 i=j 时为 1，其余为 0。

A′ᵢ = Rᵢⱼ Aⱼ，R Rᵀ=I
T′ᵢⱼ = Rᵢₖ Rⱼₗ Tₖₗ
(A⊗B)ᵢⱼ = AᵢBⱼ

这里 R 定义为分量变换矩阵。坐标换了，物理对象没变，长度和点乘保持不变。二阶张量可拆成对称部分 (T+Tᵀ)/2 和反对称部分 (T−Tᵀ)/2。

空间反演 r→−r：E、r 是极矢量，会反向；B、r×p 是轴矢量，不反向。εᵢⱼₖ 是 Levi-Civita 符号，123 的偶排列为 +1，奇排列为 −1，重复指标为 0。它让叉乘写成 (A×B)ᵢ=εᵢⱼₖAⱼBₖ。

εᵢⱼₖ εᵢₘₙ = δⱼₘδₖₙ−δⱼₙδₖₘ

证明题策略：把目标式都写成同一个自由指标的分量 → 用上面的缩并公式 → 化回矢量式。对于应力张量，T·n 表示给定面法线 n 上的牵引方向与大小。